# 273｜熵光子数不等式：两束量子光混合后最少有多混乱

> 官方问题族 273；本版含 1 篇稿件。以下为稿件结论的解释，未完成独立证明认证。来源版本：`adc7f1241b42`，核对日期：2026-10-07。

## A. 问题与历史背景

经典熵功率不等式约束独立随机变量相加后的熵；量子光学中，对应的操作是让两束独立光经过分束器。光的能量由光子数表征，而熵还包含非经典统计和各模式之间的纠缠，因此需要合适的量子版本。

[Guha–Erkmen–Shapiro 的 2007 年论文](https://arxiv.org/abs/0710.5666)提出并讨论熵光子数不等式的通信含义。它以同熵热态的平均光子数来刻画一般态的“有效噪声”，并预期热态是极值态。

## B. 定义与稿件结论

单模平均光子数为 $x$ 的热态熵为

```math
g(x)=(x+1)\log(x+1)-x\log x.
```

对 $n$ 模态 $\rho$，定义熵光子数 $N_S(\rho)=g^{-1}(S(\rho)/n)$；它不是一般态的真实平均光子数，而是与其每模熵相同的热态光子数。

输入为 $\rho_A\otimes\rho_B$，两输入各有 $n$ 个模式且平均总能量有限。透射率为 $\eta\in[0,1]$ 的分束器产生

```math
c_j=\sqrt\eta\,a_j+\sqrt{1-\eta}\,b_j,
\qquad j=1,\ldots,n.
```

稿件声称对保留输出 $C$ 有

```math
N_S(\rho_C)\ge\eta N_S(\rho_A)+(1-\eta)N_S(\rho_B).
```

允许 A 内部和 B 内部各自任意模式纠缠，但 A、B 之间必须独立。热态乘积输入达到等号，即使两输入熵不同也如此。$\eta=0,1$ 退化为恒等关系，是直接的端点检查。

## C. 稿件列出的通信后果

对独立热环境的衰减信道，若环境每模光子数为 $N_B$，固定输入熵 $S_{\rm in}$ 时，输出熵下界可写为

```math
S_{\rm out}\ge
n\,g\!\left[\eta g^{-1}(S_{\rm in}/n)+(1-\eta)N_B\right],
```

并由适当热输入达到。稿件声称这对任意有限张量幂和跨模式纠缠输入成立，还给出平均光子约束下、退化的双接收者纯损耗玻色广播信道的精确经典容量区域。

**潜在积极影响：**把量子光通信中的许多最小输出熵问题压缩为热态极值问题，有助于确定噪声下的编码极限、评估高斯编码方案，并为多用户光通信提供理论基准。

**边界：**输入之间已经存在相关或纠缠时，不能直接应用该不等式；无限能量输入也不在定理内。这不是所有玻色信道的量子容量公式，不能混淆经典消息容量、量子态传输容量和秘密容量。对具体实验，还需核对损耗、记忆效应和非热噪声是否符合信道模型。

## 原稿及配套材料

- **O273-01** [The entropy photon-number inequality](https://github.com/openai/math/blob/adc7f1241b42e322a6451854ab7e4b4c146bf78a/preprints/The-entropy-photon-number-inequality-September-24-2026/paper.pdf)。形式化目录：未列入。BibTeX 键：`OAI:The-entropy-photon-number-inequality-September-24-2026`。

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