# 274｜常数深度量子电路不能算奇偶性：浅电路的能力边界

> 官方问题族 274；本版含 2 篇稿件。以下为稿件结论的解释，未完成独立证明认证。来源版本：`adc7f1241b42`，核对日期：2026-10-07。

## A. 问题是什么

奇偶函数为 $\operatorname{PARITY}(x)=x_1\oplus\cdots\oplus x_n$。每一位都能影响结果，所以它是研究信息是否能在少量电路层内全局汇聚的典型问题。Moore 在 1999 年提出量子版常数深度电路类 $\mathrm{QAC}^0$ 的奇偶性猜想。

该电路允许任意单比特门和任意多控制比特的 Toffoli 门，辅助比特数为输入规模的某个多项式，各层门的支撑不重叠。它已经比只有几何局域两比特门的固定深度电路强，因此不能只用普通空间光锥大小来完成证明。[2024 年的部分进展](https://arxiv.org/abs/2410.06499)得到近线性辅助空间区间的下界。

## B. 稿件结论

本族两篇稿件分别给出投影局域化路线与轨道剪枝路线。声称对任意固定深度 $d$、任意固定多项式次数 $c\ge1$ 和任意固定优势 $\varepsilon>0$，当 $n$ 足够大时，使用至多 $n^c$ 个总比特的此类电路不可能满足

```math
\Pr[\text{输出}=\operatorname{PARITY}(x)]
\ge\frac12+\varepsilon
\qquad\text{对所有 }x\in\{0,1\}^n.
```

辅助比特从 $|0\rangle$ 开始，最后只测量一个输出比特，其他寄存器可任意丢弃。允许保留垃圾使结论比只排除完全清理输出的算法更有意义。目录还指出通过既有归约可得到严格多数函数的对应障碍。

## C. 历史资料核验的一处陷阱

搜索会遇到题为 *Low-degree approximation of QAC⁰ circuits* 的 2024 年预印本，其摘要仍写着已经解决问题。但 [arXiv 当前记录](https://arxiv.org/abs/2411.00976)明确标记撤稿，并说明 Lemma 2.1 不正确。不能只读搜索摘要就据此判断该问题早已解决。本报告没有把那份撤回的证明作为成立的历史结果。

## D. 对物理研究的价值及边界

**潜在积极影响：**明确深度、辅助空间与全局信息处理之间的交换关系，帮助评估浅量子线路能否完成某类关联计算，也为状态制备和学习量子线路的下界方法提供工具。

它不是“量子计算机不能计算奇偶性”：更深的电路当然可以。也不能直接转化为任意硬件的最小运行时间；无界扇出门、中途测量、经典反馈、预先共享的纠缠辅助态等会改变模型，必须分别比较。本族两篇虽都出现在形式化目录中，本报告未运行 Comparator，也未独立检查形式命题是否逐项覆盖其物理电路语义。

## 原稿及配套材料

- **O274-01** [Product-projection localization and the QAC⁰ parity lower bound](https://github.com/openai/math/blob/adc7f1241b42e322a6451854ab7e4b4c146bf78a/preprints/Product-projection-localization-and-the-QAC0-parity-lower-bound-September-24-2026/paper.pdf)。形式化目录：已列入。BibTeX 键：`OAI:Product-projection-localization-and-the-QAC0-parity-lower-bound-September-24-2026`。
- **O274-02** [Regular trajectories, pruning and quantum parity](https://github.com/openai/math/blob/adc7f1241b42e322a6451854ab7e4b4c146bf78a/preprints/Regular-trajectories-pruning-and-quantum-parity-September-24-2026/paper.pdf)。形式化目录：已列入。BibTeX 键：`OAI:Regular-trajectories-pruning-and-quantum-parity-September-24-2026`。

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