# 276｜广义振幅阻尼信道：热噪声下一个量子比特能传多少经典信息

> 官方问题族 276；本版含 1 篇稿件。以下为稿件结论的解释，未完成独立证明认证。来源版本：`adc7f1241b42`，核对日期：2026-10-07。

## A. 问题与历史背景

一个两能级系统与热环境耦合时，会向下衰减，也会因热激发向上跃迁。广义振幅阻尼信道（GADC）是这一过程的简单模型；它可用于理解量子存储器和通信中的弛豫噪声。

经典容量问的是：反复使用这个量子信道，最多能可靠传多少经典比特？单次最优 Holevo 信息 $\chi$ 未必等于真正容量，因为编码者可以在多次使用之间纠缠输入，解码者也可以进行联合测量。已有 [Khatri–Sharma–Wilde 的研究](https://arxiv.org/abs/1903.07747)给出多种容量界；精确消除正则化是本族声称的突破。

## B. 可直接使用的容量公式

以 $\gamma\in[0,1]$ 表示阻尼强度，$\nu\in[0,1]$ 表示平衡激发占据。输入纯态的激发概率为 $p$ 时，输出激发概率为 $q(p)=(1-\gamma)p+\gamma\nu$。定义

```math
v(p)=\gamma\nu(1-\nu)+\gamma(1-\gamma)(p-\nu)^2,
\qquad
\lambda_-(p)=\frac{1-\sqrt{1-4v(p)}}2,
```

以及以 bit 计的二元熵 $h_2(x)=-x\log_2x-(1-x)\log_2(1-x)$。稿件声称

```math
C(\mathcal A_{\gamma,\nu})=
\max_{0\le p\le1}\bigl[h_2(q(p))-h_2(\lambda_-(p))\bigr].
```

这与原文自然对数版本相差通常的 $1/\ln2$ 单位换算。达到单次最优的是等概率二元纯态系综

```math
|\phi_\pm\rangle=\sqrt{1-p}|0\rangle\pm\sqrt p|1\rangle.
```

原文声称各次独立选择这些信号就能达到容量，接收端一般仍可用集体解码。并且

```math
\chi(\mathcal A_{\gamma,\nu}^{\otimes n})
=n\chi(\mathcal A_{\gamma,\nu}).
```

它还声称对任意有限维伙伴信道，Holevo 容量、最小输出熵和正则化经典容量具有相应强可加性。

## C. 简单检查和实际价值

当 $\gamma=0$ 时是无噪声比特信道，上式最大值为一 bit；当 $\gamma=1$ 时输出与输入无关，两个熵相等、容量为零。两端都符合物理预期。原文的关键是证明一般热参数下的熵不等式足以排除跨使用纠缠输入的额外收益。

**潜在积极影响：**把一个需要在任意块长上优化的问题缩减为单变量最大化，提供简洁编码结构和热弛豫噪声的准确通信基准。对于评估存储等待时间、热化强度和经典读取能力的折中尤其方便。

**边界：**这是无辅助的经典容量，不是量子容量、秘密容量或纠缠辅助容量；也不自动涵盖相关噪声和记忆信道。独立信号达到 Holevo 信息不意味着任意逐个测量的接收机也达到容量。此稿列于形式化目录，但本报告未复现机器验证。

## 原稿及配套材料

- **O276-01** [Classical capacity and entropy inequalities for generalized amplitude damping](https://github.com/openai/math/blob/adc7f1241b42e322a6451854ab7e4b4c146bf78a/preprints/Classical-capacity-and-entropy-inequalities-for-generalized-amplitude-damping-September-24-2026/paper.pdf)。形式化目录：已列入。BibTeX 键：`OAI:Classical-capacity-and-entropy-inequalities-for-generalized-amplitude-damping-September-24-2026`。

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