# 278｜Kohn–Sham 系综表象的反例：相同密度未必来自一个独立粒子势

> 官方问题族 278；本版含 1 篇稿件。以下为稿件结论的解释，未完成独立证明认证。来源版本：`adc7f1241b42`，核对日期：2026-10-07。

## A. 为什么这关系到密度泛函理论

[Kohn–Sham 1965 年方案](https://doi.org/10.1103/PhysRev.140.A1133)把相互作用电子密度表示为辅助非相互作用体系的轨道密度，再把复杂多体效应吸收到交换关联泛函中。这是电子结构计算的核心工具。

但有三个层次不能混为一谈：某密度来自一个多电子态；它来自相互作用外势的基态；它还能来自**一个局域非相互作用势的基态系综**。允许分数占据、混合简并基态扩大了第三类，却不在逻辑上保证包含所有物理密度。

## B. 稿件反例

原文声称构造一个三电子 Coulomb 分子：两个相同正整数电荷 $Z$ 的固定核，放在 $\pm(D/Z)e_z$，其中 $D=10^{200}$，$Z$ 由一个有限、精确但非数值的公式指定。哈密顿量在全自旋费米空间中有正规化绝对基态，可选在 $S_z=1/2$ 扇区。

该态的自旋求和密度 $n_\Psi(x)$，不能由任何单一实、自旋无关局域势

```math
v\in L^{3/2}(\mathbb R^3)+L^\infty(\mathbb R^3)
```

对应的三电子非相互作用哈密顿量

```math
H_s(v)=\sum_{i=1}^3[-\tfrac12\Delta_i+v(x_i)]
```

的基态系综复现。换言之，不存在许可的 $v$ 和基态密度矩阵 $\Gamma$ 使 $n_\Gamma=n_\Psi$ 几乎处处成立。配套的定性表述是，对足够大的固定 $D$，所有足够大的整数 $Z$ 都有这种构造。

## C. 阻碍在哪里

这是对一个真实相互作用基态密度的非相互作用 $v$-可表象性限制。稿件利用密度尾部在特殊平面与一般方向上的不同渐近行为，推导任何试图复现该密度的共同局域势必须违反指定函数空间条件。严格实现需要同时控制真正 Coulomb 基态、方向性尾部及非相互作用谱结构。

核电荷并没有被给成适合实验的普通元素数值。因此“有一个数学 Coulomb 分子”不能直接改写为“某种常见材料已知无法使用 Kohn–Sham 方法”。

## D. 对物理研究的积极影响与边界

**潜在积极影响：**说明某些逆 Kohn–Sham 计算的奇异势或不收敛，可能反映表象的数学边界，而不仅是泛函不够好或数值程序有缺陷。它推动人们明确势的允许类别，研究广义 Kohn–Sham、非局域算符、自旋依赖势、有限温度或正则化等扩展。

这不反驳 Hohenberg–Kohn 理论，也不否定 Levy–Lieb 的受限搜索表述；更不说明常用 DFT 在已验证材料上失效。精确不可表象与任意精度近似可表象不同；原稿反例本身没有证明实际允许误差下近似必然失败。将这个存在性构造转化成可计算、适中核电荷的例子，是后续最有信息量的方向。

## 原稿及配套材料

- **O278-01** [A Coulomb ground-state density without Kohn–Sham ensemble representation](https://github.com/openai/math/blob/adc7f1241b42e322a6451854ab7e4b4c146bf78a/preprints/A-Coulomb-Ground-State-Density-without-Kohn-Sham-Ensemble-Representation-September-25-2026/paper.pdf)。形式化目录：未列入。BibTeX 键：`OAI:A-Coulomb-Ground-State-Density-without-Kohn-Sham-Ensemble-Representation-September-25-2026`。

[返回总览](../README.md) · [来源与核验记录](../sources.md)