# 281｜QAOA 达到 SK 基态能量：量子变分电路能否追上自旋玻璃极值

> 官方问题族 281；本版含 2 篇稿件。以下为稿件结论的解释，未完成独立证明认证。来源版本：`adc7f1241b42`，核对日期：2026-10-07。

## A. 模型与历史背景

Sherrington–Kirkpatrick（SK）模型是全连接随机自旋玻璃的标准模型。取独立标准 Gaussian 随机耦合 $J_{ij}$，用最大化约定写

```math
C_n=\frac1{\sqrt n}\sum_{i<j}J_{ij}Z_iZ_j,
\qquad B_n=\sum_iX_i.
```

若更习惯基态最小化，可令物理哈密顿量 $H_n=-C_n$。Parisi 理论给出热力学最优能量密度 $P_*$，而找到接近它的构型是算法问题。

标准 QAOA 从 $|+\rangle^{\otimes n}$ 出发，交替实施问题演化和横场混合：

```math
|\psi_p(\gamma,\beta)\rangle
=\prod_{\ell=1}^{p}
e^{-i\beta_\ell B_n}e^{-i\gamma_\ell C_n}
|+\rangle^{\otimes n}.
```

[Farhi 等](https://arxiv.org/abs/1910.08187)研究固定深度的无限系统能量，[Basso 等](https://arxiv.org/abs/2110.14206)提出深度增加后最终达到 Parisi 值的猜想。有限深度数值性能优良，并不足以证明该极限猜想。

## B. 稿件精确结论

记 $Q_p$ 为先取 $n\to\infty$ 后，在深度 $p$ 标准 QAOA 的确定性角度上优化得到的期望能量密度。原文声称

```math
\lim_{p\to\infty}Q_p=P_*.
```

等价地，对每个 $\varepsilon>0$，都存在某个有限深度 $p$ 及确定性角度，使热力学极限的期望能量密度至少为 $P_*-\varepsilon$。角度不依赖系统大小或具体无序实例。

必须保留量词顺序：**先选择精度和相应固定深度、固定角度，再令系统变大；随后讨论深度趋向无穷。**原文明确不给出 $p(\varepsilon)$ 的定量界，也不给出高效选角程序。它同时导出大度数随机正则图 MaxCut 的领先阶最优期望值，仍需先系统规模、后图度数的极限。

配套稿件证明零温、零场纯 SK 模型 Parisi 极小化序参量在 $[0,1)$ 上有完整相对 Stieltjes 支撑。这里的“完整支撑”指重叠尺度之间没有空缺，是对玻璃态层级结构的陈述，并不等于算法采样到了全部低能态。

## C. 积极影响与算法边界

**潜在积极影响：**为标准 QAOA 的表达能力建立一个重要平均场基准，把变分量子线路与 Parisi 自旋玻璃理论连接起来。无序无关角度的存在也支持跨实例迁移参数的思路，并可指导寻找深度—精度关系和经典可计算的角度规则。

然而逼近每自旋能量不等于高保真制备某个基态向量，也不保证一次测量得到最优构型。存在固定精度的有限深度不意味着该深度小，或者对 $1/\varepsilon$ 多项式。SK 是特殊随机平均场族，本稿既不证明任意实例 MaxCut 的高效精确解，也不单独建立相对于最佳经典算法的量子优势。

最直接的后续研究是把存在性转成资源估计：提取 $p(\varepsilon)$、角度精度、无序实例波动和硬件编译开销，再比较可实现的经典、量子方案。

## 原稿及配套材料

- **O281-01** [QAOA attains the SK ground-state energy in the thermodynamic-first limit](https://github.com/openai/math/blob/adc7f1241b42e322a6451854ab7e4b4c146bf78a/preprints/QAOA-attains-the-SK-ground-state-energy-in-the-thermodynamic-first-limit-September-25-2026/QAOA-attains-the-SK-ground-state-energy-in-the-thermodynamic-first-limit-September-25-2026.pdf)。形式化目录：未列入。BibTeX 键：`OAI:QAOA-attains-the-SK-ground-state-energy-in-the-thermodynamic-first-limit-September-25-2026`。
- **O281-02** [Full support of the zero-temperature Sherrington–Kirkpatrick order parameter](https://github.com/openai/math/blob/adc7f1241b42e322a6451854ab7e4b4c146bf78a/preprints/Full-support-of-the-zero-temperature-Sherrington-Kirkpatrick-order-parameter-September-27-2026/main.pdf)。形式化目录：未列入。BibTeX 键：`OAI:Full-support-of-the-zero-temperature-Sherrington-Kirkpatrick-order-parameter-September-27-2026`。

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